${\int }_{\frac{x}{4}}^0{\sec }^{2}x{e}^{\tan }dx=$ কত?

প্রদত্ত ইন্টিগ্রালটি হলো:

\[ \int_{\frac{x}{4}}^{0} \sec^2 x e^{\tan} dx \]

প্রশ্নটিতে কিছু অস্পষ্টতা রয়েছে। বিশেষ করে, ইন্টিগ্রালের নিম্নসীমা x/4 হিসাবে উল্লেখ করা হয়েছে এবং e এর ঘাত tanx এর পরিবর্তে শুধুমাত্র tan লেখা হয়েছে। উচ্চতর গণিতের এই ধরনের সমস্যার ক্ষেত্রে, সাধারণত ইন্টিগ্রালের সীমা সুনির্দিষ্ট ধ্রুবক হয় এবং ফাংশনের চলক স্পষ্টভাবে উল্লেখ থাকে। অপশনগুলির সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ উত্তর পাওয়ার জন্য, আমরা নিম্নলিখিত অনুমানগুলো করছি:

    
• ইন্টিগ্রালের নিম্নসীমা \(-\frac{\pi}{4}\) এবং উচ্চসীমা \(0\)।
    
• ইন্টিগ্র্যান্ডটি \(e^{\tan x}\sec^2 x\) হবে।
    
• অপশনগুলিতে ব্যবহৃত \(\epsilon\) প্রতীকটি প্রাকৃতিক লগারিদমের ভিত্তি \(e\) কে নির্দেশ করে।

এই অনুমানগুলোর ভিত্তিতে, প্রশ্নটি দাঁড়ায়:

\[ \int_{-\frac{\pi}{4}}^{0} e^{\tan x} \sec^2 x \, dx \]

এই নির্দিষ্ট ইন্টিগ্রালটি সমাধান করার জন্য আমরা প্রতিস্থাপন পদ্ধতি (substitution method) ব্যবহার করব।

ধরি, \(u = \tan x\)

এখন, \(u\) কে \(x\) এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করলে পাই:

\[ \frac{du}{dx} = \sec^2 x \]

সুতরাং, আমরা লিখতে পারি, \(du = \sec^2 x \, dx\)

এবার ইন্টিগ্রালের সীমা পরিবর্তন করতে হবে, কারণ আমরা চলক \(x\) থেকে \(u\) তে পরিবর্তন করছি:

    
• যখন \(x = -\frac{\pi}{4}\) (নিম্নসীমা) হয়, তখন \(u = \tan(-\frac{\pi}{4}) = -1\)।
    
• যখন \(x = 0\) (উচ্চসীমা) হয়, তখন \(u = \tan 0 = 0\)।

সুতরাং, ইন্টিগ্রালটি পরিবর্তিত হয়ে দাঁড়ায়:

\[ \int_{-1}^{0} e^u \, du \]

এখন এই ইন্টিগ্রালটি সমাধান করি। আমরা জানি, \(e^u\) এর ইন্টিগ্রেশন \(e^u\) ই হয়:

\[ \left[ e^u \right]_{-1}^{0} \]

ইন্টিগ্রালের ঊর্ধসীমা এবং নিম্নসীমার মান বসিয়ে পাই:

\[ e^0 - e^{-1} \]

আমরা জানি যে, যেকোনো সংখ্যার ঘাত 0 হলে তার মান 1 হয়, অর্থাৎ \(e^0 = 1\)।

এবং \(e^{-1}\) কে \(\frac{1}{e}\) হিসাবে লেখা যায়।

সুতরাং, ইন্টিগ্রালের চূড়ান্ত মান হবে:

\[ 1 - \frac{1}{e} \]

যদি অপশনগুলিতে \(\epsilon\) কে প্রাকৃতিক লগারিদমের ভিত্তি \(e\) ধরা হয়, তাহলে অপশন 3-তে \(1 - \frac{1}{\epsilon}\) লেখা আছে, যা আমাদের প্রাপ্ত ফলাফল \(1 - \frac{1}{e}\) এর সাথে মিলে যায়।